V. - halapa.com

POSLJEDNJIH 10 ZADATAKA
FIZIKA
I.
Zadatak 059 (Sonja, srednja škola)
Kolikom će se brzinom gibati štap duljine 3 m da bi za promatrača koji miruje njegova duljina
bila 2.5 m? (brzina svjetlosti u praznini c)
Rješenje 059
l0 = 3 m,
l = 2.5 m,
c,
v=?
Specijalna teorija relativnosti
• Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi, isti) u odnosu na svaki inercijski sustav.
• Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva, ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi.
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti, prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti. Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere.
2
v
l = l0 ⋅ 1 −
,
2
c
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet), l duljina
mjerena iz sustava koji miruje, c brzina svjetlosti, v brzina gibanja predmeta.
Računamo brzinu gibanja.
l = l0 ⋅ 1 −
v
c
2
2
⇒ l = l0 ⋅ 1 −
v
c
2
2
/⋅
2
2
1
l
v
l
v
⇒
= 1−
⇒
= 1−
/2 ⇒
2
2
l
l
l
c
c
0
0
0
2
2
2
2

2
2
2
 l 
 l 
 l 
v
v
v
  l  
2
2
2
⇒   =1−
⇒
=1−   ⇒
= 1 −   / ⋅ c ⇒ v = c ⋅ 1 −    ⇒
2
2
2
l 
l 
l 
 
c
c
c
  l0  
 0
 0
 0


⇒ v
2
2

2   l  
= c ⋅ 1 −
/
  
  l0  


⇒ v=
2
2

 l 
2   l  
c ⋅ 1 −
⇒ v = c ⋅ 1−   =
  
l 
  l0  
 0


2
2
2
 2.5 m 
 2.5 m 
 2.5 
= c ⋅ 1− 
 = c ⋅ 1− 
 = c ⋅ 1− 
 = 0.553 ⋅ c.
 3 
 3m 
 3m 
Vježba 059
Kolikom će se brzinom gibati štap duljine 300 cm da bi za promatrača koji miruje njegova
duljina bila 250 cm? (brzina svjetlosti u praznini c)
Rezultat:
0.553 · c.
1
II.
Zadatak 060 (Sonja, srednja škola)
Pravokutna slika visine 1 m i širine 1.2 m visi na zidu jedne prostorije u svemirskom brodu.
Svemirski brod prolazi pokraj Zemlje brzinom 0.9 · c. Kolike su dimenzije slike za promatrača na
Zemlji? (brzina svjetlosti u praznini c)
Rješenje 060
a0 = 1 m,
b0 = 1.2 m,
v = 0.9 · c,
a = ?,
b=?
Specijalna teorija relativnosti
• Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi, isti) u odnosu na svaki inercijski sustav.
• Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva, ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi.
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti, prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti. Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere.
2
v
l = l0 ⋅ 1 −
,
2
c
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet), l duljina
mjerena iz sustava koji miruje, c brzina svjetlosti, v brzina gibanja predmeta.
Kontrakcija dužine zbiva se samo u smjeru relativnog gibanja, a nema je u smjerovima okomitim na
smjer gibanja.
Giba li se brod u smjeru širine slike, za promatrača na Zemlji visina slika ostat će ista
a = a0 = 1 m.
Budući da se svemirski brod giba brzinom v, širina slike b0 za promatrača koji miruje smanjit će se i
iznosit će:
2
2
2
2
v
v
 0.9 ⋅ c 
 0.9 ⋅ c 
b = b0 ⋅ 1 −
⇒ b = b0 ⋅ 1 −   = 1.2 m ⋅ 1 − 
=
1.2
m
⋅
1
−


 =
2
c
 c 
 c 
c
= 1.2 m ⋅ 1 − 0.9
2
= 0.52 m.
v
a = a0
a0
b0
b
Vježba 060
Pravokutna slika visine 100 cm i širine 120 cm visi na zidu jedne prostorije u svemirskom
brodu. Svemirski brod prolazi pokraj Zemlje brzinom 0.9 · c. Kolike su dimenzije slike za promatrača
na Zemlji? (brzina svjetlosti u praznini c)
Rezultat:
visina 100 cm, širina 52 cm.
2
III.
Zadatak 353 (Luka, maturant)
Tijelo se počne spuštati niz kosinu nagibnog kuta 30° s visine od 3 m. Zatim dolazi na
horizontalnu podlogu i zaustavi se 5 m od podnožja kosine. Koliki je faktor trenja klizanja između
tijela i podloge ako je jednak na cijelom putu?
Rješenje 353
α = 30°,
h = 3 m,
s = 5 m,
µ=?
Potencijalna energija je energija međudjelovanja tijela. Ona ovisi o međusobnom položaju tijela ili o
međusobnom položaju dijelova tijela. U polju sile teže tijelo mase m ima gravitacijsku potencijalnu
energiju
E gp = m ⋅ g ⋅ h,
gdje je g akceleracija slobodnog pada, a h vertikalna udaljenost tijela od mjesta gdje bi prema
dogovoru tijelo imalo energiju nula.
Kad tijelo obavlja rad, mijenja mu se energija. Promjena energije tijela jednaka je utrošenom radu.
W = ∆E.
Tijelo obavlja rad W ako djeluje nekom silom F na putu s na drugo tijelo. Ako sila djeluje u smjeru
gibanja tijela, vrijedi
W = F ⋅ s.
Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo silom težom. Pod djelovanjem sile teže sva tijela
padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu.
Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom
Newtonovom poučku
G = m ⋅ g,
gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu
na Zemlji jednaka.
Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek
počinje gibati. Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja i može se izračunati pomoću izraza
Ftr = µ ⋅ FN ,
gdje je Ftr trenje, µ faktor trenja, FN veličina okomite komponente sile kojom tijelo djeluje na podlogu
po kojoj se giba. Na vodoravnoj površini sila trenja za tijelo težine G iznosi:
Ftr = µ ⋅ G ⇒ Ftr = µ ⋅ m ⋅ g .
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.
Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,
a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.
Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete uz taj kut i duljine
hipotenuze.
Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine
hipotenuze.
Kutovi s okomitim kracima
α
α
3
Ftrk
l
F1
α
h
α
G
Ftrs
F2
α
s
G
Ftrk
l
F1
h
α
G
Ftrs
F2
α
s
G
Silu težu (težinu tijela) G rastavimo na dvije komponente:
• komponentu F1 u smjeru kosine koja tijelo ubrzava niz kosinu
• komponentu F2 okomitu na kosinu koja pritišće kosinu.
Uočimo pravokutne trokute:
• pravokutan trokut čija je kateta F1 i hipotenuza G (žuta boja)
• pravokutan trokut čija je kateta h i hipotenuza l (plava boja)
Pomoću pravokutnog trokuta (žuti trokut) čija je kateta F2, a hipotenuza G dobije se:
F
F
cos α = 2 ⇒ cos α = 2 / ⋅ G ⇒ F2 = G ⋅ cos α ⇒ F2 = m ⋅ g ⋅ cos α .
G
G
Pomoću pravokutnog trokuta (plavi trokut) čija je kateta h, a hipotenuza l dobije se:
sin α =
h
⇒ sin α =
h
/⋅
l
⇒ l=
h
.
l
l
s in α
sin α
Potencijalna energija tijela Egp na vrhu kosine, visine h, jednaka je zbroju radova sile trenja Ftrk na
kosini, duljine l i sile trenja Ftrs na horizontalnom putu, duljine s.
E gp = W + Wtrs ⇒ m ⋅ g ⋅ h = F ⋅ l + Ftrs ⋅ s ⇒ m ⋅ g ⋅ h = µ ⋅ F2 ⋅ l + µ ⋅ G ⋅ s ⇒
trk
trk
1
⇒ m ⋅ g ⋅ h = µ ⋅ m ⋅ g ⋅ cos α ⋅ l + µ ⋅ m ⋅ g ⋅ s ⇒ m ⋅ g ⋅ h = µ ⋅ m ⋅ g ⋅ cos α ⋅ l + µ ⋅ m ⋅ g ⋅ s / ⋅
⇒
m⋅ g
⇒ h = µ ⋅ cos α ⋅ l + µ ⋅ s ⇒ h = µ ⋅ ( l ⋅ cos α + s ) ⇒ µ ⋅ ( l ⋅ cos α + s ) = h ⇒
⇒ µ ⋅ ( l ⋅ cos α + s ) = h / ⋅
1
l ⋅ cos α + s
⇒ µ=
4
h
l ⋅ cos α + s

h 

sin α 
⇒ l =
 ⇒
⇒ µ=
h
h
sin α
⋅ cos α + s

⇒ ctg α =

cos α 
h
3m
= 0.29.
 ⇒ µ = h ⋅ ctg α + s =
0
sin α 
3 m ⋅ ctg 30 + 5 m
Vježba 353
Tijelo se počne spuštati niz kosinu nagibnog kuta 30° s visine od 30 dm. Zatim dolazi na
horizontalnu podlogu i zaustavi se 50 dm od podnožja kosine. Koliki je faktor trenja klizanja između
tijela i podloge ako je jednak na cijelom putu?
Rezultat:
0.29.
5
IV.
Zadatak 354 (Luka, maturant)
Tijelo mase 5 kg miruje na kosini duljine 5 m i visine 3 m. Kolika je sila statičkog trenja? Za
akceleraciju sile teže uzmite približnu vrijednost g = 10 m / s2.
Rješenje 354
m = 5 kg,
l = 5 m,
h = 3 m,
g = 10 m / s2,
Ftr = ?
Prvi Newtonov poučak
Ako na tijelo ne djeluje nikakva sila ili je rezultanta svih sila jednaka nuli, tijelo miruje ili se giba
jednoliko po pravcu. Zato kažemo da je tijelo tromo.
Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo silom težom. Pod djelovanjem sile teže sva tijela
padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu.
Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom
Newtonovom poučku
G = m ⋅ g,
gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu
na Zemlji jednaka. Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog Zemljina privlačenja djeluje na
horizontalnu podlogu ili ovjes. Za slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju
jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom jednaka sili teže.
Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek
počinje gibati. Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja.
Ako su a i b brojevi, kažemo da je kvocijent a : b, b ≠ 0 omjer brojeva a i b.
Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je
a : b = k i c : d = k,
tada je razmjer ili proporcija
a : b = c : d.
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.
a : b = c : d ⇒ a ⋅ d = b ⋅ c.
Omjer dužina je omjer njihovih duljina izraženih u istoj mjernoj jedinici. Kažemo da su dužine
proporcionalne ili razmjerne, ako su razmjerne njihove duljine.
Kutovi s okomitim kracima
α
α
Sličnost trokuta
Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su
odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice proporcionalne.
a
b
c
α = α1 , β = β1 , γ = γ1 ,
= = = k.
a1 b1 c1
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti.
6
C
C1
b
a
b1
A
B
c
A1
a1
B1
c1
Prvi poučak sličnosti (K – K)
Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta.
Ftr
l
Ftr
F1
l
F2
F1
F2
h
G
h
G
α
α
α
α
Silu težu (težinu tijela) G rastavimo na dvije komponente:
• komponentu F1 u smjeru kosine koja tijelo ubrzava niz kosinu
• komponentu F2 okomitu na kosinu koja pritišće kosinu.
Uočimo pravokutne trokute:
• pravokutan trokut čija je kateta F1 i hipotenuza G (žuta boja)
• pravokutan trokut čija je kateta h i hipotenuza l (plava boja)
Trokuti su slični jer imaju jednake kutove. Zato vrijedi razmjer:
h
h
F1 : G = h : l ⇒ F1 ⋅ l = G ⋅ h ⇒ F1 ⋅ l = G ⋅ h / : l ⇒ F1 = G ⋅ ⇒ F1 = m ⋅ g ⋅ .
l
l
Budući da tijelo miruje na kosini, sila F1 koja tijelo ubrzava niz kosinu mora biti po iznosu jednaka sili
trenja Ftr, ali suprotnog smjera.

h
m 3m

= 30 N .
h  ⇒ Ftr = m ⋅ g ⋅ = 5 kg ⋅10 2 ⋅
l
5m
F1 = m ⋅ g ⋅ 
s
l 
Ftr = F1
Vježba 354
Tijelo mase 5 kg miruje na kosini duljine 10 m i visine 6 m. Kolika je sila statičkog trenja? Za
akceleraciju sile teže uzmite približnu vrijednost g = 10 m / s2.
Rezultat:
30 N.
7
V.
Zadatak 212 (Niky, gimnazija)
Kada dvije glazbene vilice istodobno odašilju zvuk čujemo jedan udar svake 0.3 s. Za koliko
se razlikuju frekvencije tih glazbenih vilica?
Rješenje 212
n = 1,
t = 0.3 s,
νu = ?
Udari nastaju superpozicijom dvaju valova koji se vrlo malo razlikuju u frekvencijama. Broj udara u
sekundi jednak je razlici frekvencija valova koji interferiraju:
ν u = ν1 −ν 2 .
Frekvencija ν je broj titraja (ophoda) u jedinici vremena.
Frekvencija titranja ν računa se po formuli
n
ν= ,
t
gdje je n broj titraja koje je tijelo učinilo u vremenu t.
Budući da je razlika frekvencija jednaka broju udara, vrijedi:
νu =
n
t
=
1
0.3 s
= 3.33
1
s
= 3.33 Hz.
Vježba 212
Kada dvije glazbene vilice istodobno odašilju zvuk čujemo dva udara svakih 0.6 s. Za koliko
se razlikuju frekvencije tih glazbenih vilica?
Rezultat:
3.33 Hz.
8
VI.
Zadatak 213 (Niky, gimnazija)
Neka svirala emitira zvuk frekvencije 196 Hz. Kad ona i G žica violine zajedno emitiraju zvuk
može se čuti 10 udara u 8 s. Udari su sve rjeđi kad se violinska žica polako napinje. Kolika je prvotna
frekvencija violinske žice?
Rješenje 213
ν1 = 196 Hz,
n = 10,
t = 8 s,
ν2 = ?
Udari nastaju superpozicijom dvaju valova koji se vrlo malo razlikuju u frekvencijama. Broj udara u
sekundi jednak je razlici frekvencija valova koji interferiraju:
ν u = ν1 −ν 2 .
Frekvencija ν je broj titraja (ophoda) u jedinici vremena.
Frekvencija titranja ν računa se po formuli
n
ν= ,
t
gdje je n broj titraja koje je tijelo učinilo u vremenu t.

 metoda

n
n

t
 ⇒ 
 ⇒ t = ν1 −ν 2 ⇒ ν 2 = ν1 − t =
komparac
ije


ν u = ν1 −ν 2 

νu =
n
10
1
1
1
⇒ ν 2 = 196 Hz −
= 196 − 1.25 = 194.75 = 194.75 Hz.
8s
s
s
s
Vježba 213
Neka svirala emitira zvuk frekvencije 196 Hz. Kad ona i G žica violine zajedno emitiraju zvuk
može se čuti 20 udara u 16 s. Udari su sve rjeđi kad se violinska žica polako napinje. Kolika je prvotna
frekvencija violinske žice?
Rezultat:
194.75 Hz.
9
VII.
Zadatak 528 (Dora, gimnazija)
Tijelo slobodno pada s visine 1 m na Zemlji i na Mjesecu. Koliki je kvocijent vremena
slobodnog pada tog tijela na Zemlji i na Mjesecu? (ubrzanje slobodnog pada na Zemlji
g1 = 9.81 m / s2, ubrzanje slobodnog pada na Mjesecu g2 = 1.64 m / s2)
Rješenje 528
t1
h = 1 m,
g1 = 9.81 m / s2,
g2 = 1.64 m / s2,
=?
t2
Slobodni pad je jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje s početnom brzinom v0 = 0 m/s i konstantnom
akceleracijom a = g = 9.81 m/s2. Za slobodni pad vrijedi izraz:
h=
1
2
⋅ g ⋅t ⇒ t =
2
2⋅h
,
g
gdje je h visina pada.
Kvocijent vremena iznosi:
t1
=
t2
2⋅h
g1
t
⇒ 1 =
t2
2⋅h
g2
2⋅h
g1
t
⇒ 1 =
2⋅h
t2
g2
2⋅h
g1
t
⇒ 1 =
2⋅h
t2
g2
g2
t
⇒ 1 =
g1
t2
m
2
s ⇒ t1 = 0.41.
m
t2
9.81
2
s
1.64
Vježba 528
Tijelo slobodno pada s visine 5 m na Zemlji i na Mjesecu. Koliki je kvocijent vremena
slobodnog pada tog tijela na Zemlji i na Mjesecu? (ubrzanje slobodnog pada na Zemlji
g1 = 9.81 m / s2, ubrzanje slobodnog pada na Mjesecu g2 = 1.64 m / s2)
Rezultat:
0.41.
10
VIII.
Zadatak 529 (Zvonimir, srednja škola)
Prvi vagon vlaka prošao je kraj promatrača koji stoji uz prugu za t1 = 1 s, a drugi za t2 = 1.5 s.
Duljina vagona je d = 12 m. Nađite akceleraciju vlaka.
Rješenje 529
t1 = 1 s,
t2 = 1.5 s,
d = 12 m,
a=?
Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz
1
2
⋅ a ⋅t ,
2
gdje je s put za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za
vrijeme t.
Za jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom v0 vrijedi formula za put s:
1
2
s = v0 ⋅ t + ⋅ a ⋅ t .
2
s=
Prvi vagon duljine d prošao je pored promatrača za vrijeme t1 pa je prevaljeni put vlaka
1
2
d = v0 ⋅ t1 + ⋅ a ⋅ t1 ,
2
gdje je v0 početna brzina vlaka.
Za vrijeme t1 + t2 prošao je i drugi vagon pokraj promatrača pa je prevaljeni put vlaka
2
1
2 ⋅ d = v0 ⋅ t1 + t2 + ⋅ a ⋅ t1 + t2 ,
2
(
)
(
)
gdje je v0 početna brzina vlaka, a 2 · d duljina prvog i drugog vagona.
Rješavanjem sustava jednadžbi dobije se akceleracija a.
1
1

2
2
d = v0 ⋅ t1 + ⋅ a ⋅ t1
v0 ⋅ t1 + ⋅ a ⋅ t1 = d

2
2
⇒
2
1
1
2
2
2⋅ d = v ⋅ t + t + ⋅ a ⋅ t + 2⋅t ⋅t + t
2 ⋅ d = v0 ⋅ t1 + t2 + ⋅ a ⋅ t1 + t2 
0 1 2 2
1
1 2 2
2

(
)
(
(
)
)
(


⇒
 ⇒
1
1
2
2
2⋅ d = v ⋅ t + t + ⋅ a ⋅t + a ⋅t ⋅t + ⋅ a ⋅t 
0 1 2 2
1
1 2 2
2 
1
2
v0 ⋅ t1 = d − ⋅ a ⋅ t1
2
(
)


⇒
 ⇒
1
1
2
2
2⋅ d = v ⋅ t + t + ⋅ a ⋅t + a ⋅t ⋅t + ⋅ a ⋅t 
0 1 2 2
1
1 2 2
2 
1
2
v0 ⋅ t1 = d − ⋅ a ⋅ t1 /: t1
2
(
)


 metoda 

 ⇒ 
 ⇒
 zamjene 
1
1
2
2
2⋅ d = v ⋅ t + t + ⋅ a ⋅t + a ⋅t ⋅t + ⋅ a ⋅t 
0 1 2 2
1
1 2 2
2
d 1
v0 = − ⋅ a ⋅ t1
t1 2
⇒
(
)
d 1

1
1
2
2
⇒ 2 ⋅ d =  − ⋅ a ⋅ t1  ⋅ t1 + t2 + ⋅ a ⋅ t1 + a ⋅ t1 ⋅ t2 + ⋅ a ⋅ t2 ⇒
t 2

2
2
1

(
)
11
)


 ⇒


1
1
1
1
2 d
2
2
⇒ 2 ⋅ d = d − ⋅ a ⋅ t1 + ⋅ t2 − ⋅ a ⋅ t1 ⋅ t2 + ⋅ a ⋅ t1 + a ⋅ t1 ⋅ t2 + ⋅ a ⋅ t2 ⇒
2
t
2
2
2
1
1
1
1
1
2 d
2
2
⇒ 2 ⋅ d = d − ⋅ a ⋅ t1 + ⋅ t2 − ⋅ a ⋅ t1 ⋅ t2 + ⋅ a ⋅ t1 + a ⋅ t1 ⋅ t2 + ⋅ a ⋅ t2 ⇒
t
2
2
2
2
1
⇒ 2⋅d = d +
d
1
1
2
⋅ t − ⋅ a ⋅ t1 ⋅ t2 + a ⋅ t1 ⋅ t2 + ⋅ a ⋅ t2 ⇒
t 2 2
2
1
d
1
1
2
⋅t = − ⋅ a ⋅t ⋅t + a ⋅t ⋅t + ⋅ a ⋅t ⇒
2
1
2
1
2
2
t
2
2
1
 t  1
d
1
1
2
⇒ d − ⋅ t2 = ⋅ a ⋅ t1 ⋅ t2 + ⋅ a ⋅ t2 ⇒ d ⋅  1 − 2  = ⋅ a ⋅ t2 ⋅ t1 + t2 ⇒
 t  2
t1
2
2

1
⇒ 2⋅d −d −
(
⇒
⇒
)
 t 
t −t
1
1
⋅ a ⋅ t2 ⋅ t1 + t2 = d ⋅  1 − 2  ⇒ ⋅ a ⋅ t2 ⋅ t1 + t2 = d ⋅ 1 2 ⇒
 t 
2
2
t1
1

(
)
(
)
(t1 − t2 ) =
(t1 + t2 )
2⋅d ⋅
t −t
2
1
⋅ a⋅t ⋅ t + t = d ⋅ 1 2 /⋅
⇒ a=
2 1 2
t1
2
t ⋅t ⋅
t ⋅ t +t
2 1 2
1 2
(
)
(
2 ⋅12 m ⋅ (1 s −1.5 s )
)
m
.
2
s
Vlak jednoliko usporava jer je akceleracija a negativnog predznaka.
Vježba 529
Prvi vagon vlaka prošao je kraj promatrača koji stoji uz prugu za t1 = 1 s, a drugi za t2 = 1.5 s.
Duljina vagona je d = 10 m. Nađite akceleraciju vlaka.
Rezultat:
– 2.67 m / s2.
=
1 s ⋅ 1.5 s ⋅ (1 s + 1.5 s )
12
= − 3.2
IX.
Zadatak 530 (Zvonimir, srednja škola)
S jednake visine i u isto vrijeme padaju dvije kuglice: jedna kuglica bez početne brzine, a
druga s početnom brzinom 20 m / s. Prva kuglica pala je 2 s kasnije od druge. Koliko je vrijeme
padanja druge kuglice? S koje visine su kuglice počele padati? (ubrzane slobodnog pada
g = 9.81 m / s2)
Rješenje 530
v0 = 20 m / s,
∆t = 2 s,
g = 9.81 m / s2,
t = ?,
h=?
Slobodni pad je jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje s početnom brzinom v0 = 0 m/s i konstantnom
akceleracijom a = g = 9.81 m/s2. Za slobodni pad vrijedi izraz:
h=
1
2
⋅ g ⋅t ,
2
gdje je h visina pada.
Ako tijelo ima početnu brzinu v0 tada formula za slobodni pad glasi:
1
2
h = v0 ⋅ t + ⋅ g ⋅ t .
2
Neka je t vrijeme padanja druge kuglice. Tada je t + ∆t vrijeme padanja prve kuglice. Označimo li
slovom h visinu s koje su kuglice počele padati vrijedi:
• za prvu kuglicu
1
2
h = ⋅ g ⋅ ( t + ∆t )
2
• za drugu kuglicu
1
2
h = v0 ⋅ t + ⋅ g ⋅ t .
2
Iz sustava jednadžbi dobije se vrijeme t.
1
2
⋅ g ⋅ ( t + ∆t )
2
1
2
h = v ⋅t + ⋅ g ⋅t
0
2
h=
⇒
⇒
⇒

 metoda 
1
1
2

2
⇒ ⋅ g ⋅ ( t + ∆t ) = v0 ⋅ t + ⋅ g ⋅ t ⇒
⇒ 

2
2
 zamjene 


1
1
2
2
2
⋅ g ⋅  t + 2 ⋅ t ⋅ ∆t + ( ∆t )  = v0 ⋅ t + ⋅ g ⋅ t ⇒
2


2
1
1
1
2
2
2
⋅ g ⋅ t + g ⋅ t ⋅ ∆t + ⋅ g ⋅ ( ∆t ) = v0 ⋅ t + ⋅ g ⋅ t ⇒
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
⋅ g ⋅ t + g ⋅ t ⋅ ∆t + ⋅ g ⋅ ( ∆t ) = v0 ⋅ t + ⋅ g ⋅ t ⇒ g ⋅ t ⋅ ∆t + ⋅ g ⋅ ( ∆t ) = v0 ⋅ t ⇒
2
2
2
2
1
1
2
2
⇒ v0 ⋅ t = g ⋅ t ⋅ ∆t + ⋅ g ⋅ ( ∆t ) ⇒ v0 ⋅ t − g ⋅ t ⋅ ∆t = ⋅ g ⋅ ( ∆t ) ⇒
2
2
1
1
1
2
2
⇒ t ⋅ v0 − g ⋅ ∆t = ⋅ g ⋅ ( ∆t ) ⇒ t ⋅ v0 − g ⋅ ∆t = ⋅ g ⋅ ( ∆t ) / ⋅
⇒
2
2
v − g ⋅ ∆t
0
m
2
9.81
⋅ 2s
2
2 ( )
g ⋅ ( ∆t )
s
⇒ t=
=
= 51.63 s.


m
m
2 ⋅ v0 − g ⋅ ∆t
2 ⋅  20 − 9.81
⋅ 2 s 
2
s
s


Računamo visinu h.
(
)
(
(
)
)
13
h=
m
1
2 1
2
⋅ g ⋅ ( t + ∆t ) = ⋅ 9.81
⋅ ( 51.63 s + 2 s ) = 14107.65 m ≈ 14.1 km.
2
2
2
s
Vježba 530
S jednake visine i u isto vrijeme padaju dvije kuglice: jedna kuglica bez početne brzine, a
druga s početnom brzinom 72 km / h. Prva kuglica pala je 2 s kasnije od druge. Koliko je vrijeme
padanja druge kuglice? S koje visine su kuglice počele padati? (ubrzane slobodnog pada
g = 9.81 m / s2)
Rezultat:
51.63 s, 14.1 km.
14
X.
Zadatak 211 (Maturant, gimnazija)
 2 ⋅ π ⋅ x 20 ⋅ π ⋅ t 
−
 . Odredite amplitudu, periodu,
s 
 10 m
Val je opisan jednadžbom y = 0.15 m ⋅ sin 
valnu duljinu, frekvenciju, brzinu vala i elongaciju točke koja je udaljena 12.5 m od izvora vala u
trenutku t = 0.1 s.
Rješenje 211
 2 ⋅ π ⋅ x 20 ⋅ π ⋅ t 
−
,
s 
 10 m
y = 0.15 m ⋅ sin 
x = 12.5 m,
t = 0.1 s,
A = ?,
T = ?,
λ = ?,
ν = ?,
v = ?,
y=?
Funkcija sinus je neparna funkcija.
sin ( − α ) = − sin α .
Val je širenje titranja iz izvora vala kroz neko sredstvo. Zrake vala su pravci po kojima se titranje širi
od čestice do čestice. Udaljenost za koju se val proširio dok čestica u izvoru napravi jedan potpuni
titraj zove se duljina vala λ. Veza između valne duljine λ, frekvencije titranja ν i brzine vala v je
v=
λ
.
T
Frekvencija ν je broj ophoda (titraja) u jedinici vremena (u 1 sekundi). Perioda T je vrijeme jednog
ophoda (titraja). Između frekvencije ν i periode T postoji veza:
1
1
T ⋅ν = 1 ⇒ T = ⇒ ν = .
ν
T
Kada se neprigušeni harmonički titraji iz izvora prostiru brzinom v u smjeru pozitivne osi x, elongacija
y(x, t) točke koja je udaljena za x od izvora vala jednaka je
 2 ⋅π ⋅ t 2 ⋅π ⋅ x 
−
,
λ 
 T
y ( x, t ) = A ⋅ sin 
gdje su A amplituda, T perioda titranja i λ valna duljina.
Preoblikujemo zadanu jednadžbu vala.
  20 ⋅ π ⋅ t 2 ⋅ π ⋅ x  
 2 ⋅ π ⋅ x 20 ⋅ π ⋅ t 
−
−
 ⇒ y = 0.15 m ⋅ sin  − 
 ⇒
s 
10 m  
 10 m
  s
y = 0.15 m ⋅ sin 
 20 ⋅ π ⋅ t
 10 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ t 2 ⋅ π ⋅ x 
−
 ⇒ y = − 0.15 m ⋅ sin 
 ⇒
10 m 
s
10 m 
 s



 2 ⋅π ⋅t 2 ⋅π ⋅ x 
 2 ⋅π ⋅ t 2 ⋅π ⋅ x 
⇒ y = − 0.15 m ⋅ sin 
−
−
 ⇒ y = − 0.15 m ⋅ sin 
.
1
10 m 
 0.1 s 10 m 

s
 10

⇒ y = − 0.15 m ⋅ sin 
−
2 ⋅π ⋅ x 
Sada očitamo vrijednosti za amplitudu, periodu i valnu duljinu. je:
 2 ⋅π ⋅ t 2 ⋅π ⋅ x  
 2 ⋅π ⋅ t 2 ⋅π ⋅ x  
−
y ( x, t ) = A ⋅ sin 
−
 

λ  
λ  
 T
 T

 ⇒
 ⇒
 2 ⋅π ⋅ t 2 ⋅π ⋅ x  
 2 ⋅π ⋅t 2 ⋅π ⋅ x  
y = − 0.15 m ⋅ sin 
−
y = − 0.15 m ⋅ sin 
−


 0.1 s 10 m  
 0.1 s 10 m  
y ( x, t ) = A ⋅ sin 
15
A = 0.15 m 
⇒ T = 0.1 s
λ = 10 m

.


Računamo frekvenciju ν.
ν=
1
1
=
= 10 Hz.
T 0.1 s
Računamo brzinu vala v.
v=
λ
T
=
10 m
0.1 s
= 100
m
s
.
Računamo elongaciju y.


 2 ⋅ π ⋅ x 20 ⋅ π ⋅ t   ⇒
y ( x, t ) = 0.15 m ⋅ sin 
−

s 
 10 m

 2 ⋅ π ⋅ 12.5 m 20 ⋅ π ⋅ 0.1 s 
⇒ y (12.5 m, 0.1 s ) = 0.15 m ⋅ sin 
−
 ⇒ y (12.5 m, 0.1 s ) = 0.15 m.
s
 10 m

x = 12.5 m , t = 0.1 s
Vježba 211
 2 ⋅ π ⋅ x 10 ⋅ π ⋅ t 
−
 . Odredite amplitudu, periodu i
s 
 20 m
Val je opisan jednadžbom y = 0.12 m ⋅ sin 
valnu duljinu vala.
Rezultat:
A = 0.12 m, T = 0.2 s, λ = 20 m.
16

Download Report