Fenomenologia del Modello Standard – Prof. A. Andreazza
Lezione 1
La struttura V-A
delle interazioni deboli
Violazione della parità nel decadimento del π
•  Esperimento condotto immediatamente dopo
l’esperimento di Wu et al. che scoprì la violazione di
parità nelle interazioni deboli:
–  Garwin, Lederman, Weinrich, Phys. Rev. 105 1415 (1957)
–  Articolo 6.2 del libro di testo
•  Osserva che lo spin del muone è polarizzato lungo la
direzione del moto:
–  Violazione della parità: s µ ⋅ p µ ≠ 0
–  Misura del coefficiente giromagnetico del µ
•  Ripasseremo:
–  Perdita di energia per collisione
–  Moto dello spin in un campo magnetico
2
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
L’esperimento
•  Fascio di pioni di energia cinetica 85
MeV.
–  Fermati in un assorbitore di carbonio.
–  Decadono in µν e il µ si arresta
nell’assorbitore successivo.
•  Trigger:
coincidenza del segnale del π nel
contatore #1 e del µ nel #2.
–  Sappiamo quindi la direzione di pµ.
–  Lo spin del µ precede nel campo magnetico
del target.
•  Elettroni dal decadimento del µ sono
rivelati dai contatori #3 e #4
–  Coincidenza ritardata: delay=0.75 ms,
gate=1.25 ms.
–  L’assorbitore seleziona elettroni E>25 MeV.
•  Il rate dipende dal campo magnetico
3
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Perdita di energia per collisione
•  In questo esperimento, assorbitori di
carbonio sono usati per:
–  Arrestare i π del fascio
–  Assorbire i µ del decadimento
–  Selezionare l’energia degli e
•  Si sfrutta il processo di perdita di
energia per collisione
4
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Perdita di energia di particelle cariche
Perdita di energia
per collisione
5
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Perdita di energia per collisione
•  Processo continuo in cui una particella
trasferisce energia agli elettroni del mezzo:
1/β2
–  Ionizzazione, eccitazione di livelli atomici
•  Segue la legge di Bethe-Bloch:
N A 2 2 Z 1 " 1 2me c 2 β 2γ 2Tmax
dE
δ%
2
−
=
ze
−β − '
$ ln
dx
ε0
A β 2 $# 2
2 '&
I2
•  Dove:
–  I ~potenziale di ionizzazione del mezzo
–  Tmax è la massima energia trasferibile ad un
elettrone in collisioni elastiche:
Tmax =
minimo
Plateau
relavistico
2me c 2γ 2 β 2
1+ 2γ me / M + (me / M ) 2
–  δ si indica come effetto densità:
γβ →∞
δ (γβ ) / 2 ⎯⎯⎯
→ ln hω p + ln γβ −1/ 2
•  Dipende poco dal materiale:
–  Il minimo varia tra 1-2 MeVg-1cm2
6
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Misura di ionizzazione specifica (dE/dx)
• 
In apparati moderni la perdita di energia per
ionizzazione è misurata per identificare la massa
della particella.
Il problema è che il dE/dx in uno spessore piccolo
presenta grosse fluttuazioni:
–  energia persa per urti con piccolo momento
trasferito ha un comportamento quasi
gaussiano;
–  code dovute ad eventi “rari”, con alto
momento trasferito (“coda di Landau”)
È necessario ricorrere a misure multiple:
–  riduzione delle fluttuazioni
→ media troncata.
La differenza tra i vari tipi di particella è
significativa:
–  a basse velocità, dove dE/dx ~ 1/β2
–  nella regione della risalita, prima che si
instauri l’effetto densità
–  si ha una “regione di confusione” attorno al
GeV
• 
• 
• 
7
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Range
•  Spazio percorso da una particella in
un materiale:
0
dK
R= ∫
E−m dE / dx
•  (sovra)Stima grossolana:
K
R=
, K = γ −1 M
dE / dx
(
)
min
–  Molta energia viene rilasciata nella
parte finale del percorso:
Picco di
Bragg
–  In pratica si usano valori tabulati
8
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Esercizio 1.1
Analisi dell’apparato dell’esperimento
di Garwin, Lederman, Weinrich
1. 
2. 
3. 
4. 
Verificare il range in carbonio di pioni con K=85 MeV.
Qual è l’energia cinetica del muone prodotto?
Qual è il suo range in carbonio?
Verificare che il range di elettroni da 25 MeV
corrisponda allo spessore dell’assorbitore.
Tabelle di range per varie particelle e materiali su:
–  http://pdg.lbl.gov
–  Sezione Atomic Nuclear Properties
9
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Misura della polarizzazione
•  Si cerca la violazione della parità
nelle interazioni deboli:
–  Nel decadimento del π: <σµpµ>≠0
ovvero lo spin del µ ha un orientamento
preferenziale verso l’alto o il basso della
figura.
–  Nel decadimento del µ: lo spettro di
momento degli elettroni dipende
dall’angolo rispetto allo spin.
–  Serve uno spettro differenziale:
dN/dcosθ(σµ,pε)
ma il rivelatore di elettroni è in posizione
fissa.
•  Si sfrutta la precessione dello spin in
un campo magnetico
–  Come sottoprodotto si misura rapporto
giromagnetico del muone.
10
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Moto dello spin in un campo magnetico
•  Il moto dello spin in un campo magnetico segue
l’equazione di Bargmann, Michel, Telegdi:
ds µ

= 2µ F µν sν − 2uµ µ "F νλ uν sλ
dτ
–  µ è il momento magnetico della particella: µ=g(eħ/2m)(S/ħ)
•  se si trascurano correzioni radiative g=2 per particelle di spin ½ e
µ=µ0=eħ/2mc
–  µʹ′ è il momento magnetico anomalo: µʹ′=µ-µ0
–  Nel sistema di quiete il tetravettore s concidecon il vettore
tridimensionale di spin della particella: s = ( 0, ξ )
•  Nel caso di particella in quiete in un campo magnetico
dξ 2µ  
=
ξ ×B
dt

2µ
–  Lo spin precede con frequenza angolare ω =
11

B
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Esercizio 1.2
Risultati dell’esperimento di Garwin, Lederman, Weinrich
Assumendo che la distribuzione degli elettroni nel decadimento
del µ abbia l’andamento:
dN
∝1+ a cosϑ
d cosϑ
1.  Calcolare il valore di a
2.  Calcolare il fattore g del µ.
12
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Misura dell’elicità del neutrino
•  L’esperimento di Fraunfelder dimostrò che gli elettroni nel
decadimento β sono sinistrorsi.
•  Non permetteva però di discriminare le ipotesi:
–  Interazione S+T (es.: e (1+ γ 5 ) ν ) con neutrino destrorso.
–  Interazione V-A ( eγ µ (1− γ 5 ) ν ) con neutrino sinistorso
•  Misurare l’elicità del neutrino permette di risolvere queste
ambiguità.
–  Ma la rivelazione del neutrino doveva ancora arrivare (Reines e
Cowan, 1958)
•  Misurare l’elicità del neutrino senza misurare il neutrino
–  Goldhaber, Grozdin, Sunyar, Phys. Rev. 109 1015 (1958)
–  Articolo 6.5 del libro di testo
13
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Elicità del neutrino
•  Catena di decadimento:
–  Eu152m (0-)
–  cattura elettronica
ê
–  Sm152* (1-)
–  emissione γ
ê
–  Sm152 (0+)
hν
ν
Q=840 keV
152m
Eu
Sm152*
mz(Sm)=0,-hν
Eγ=960 keV
Sm152
γ
•  Fotoni emessi lungo la direzione di
volo del nucleo:
γ
hγ=-hν
Sm152
hγ=hν
–  Hanno la stessa elicità del neutrino
–  Sono più energetici
14
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Apparato sperimentale
•  Polarimetro
–  Il ferro magnetizzato trasmette meglio
fotoni con spin parallelo a quello degli
elettroni
•  Riassorbimento dell’emissione
gamma soppresso:
–  Righe di emissione ed assorbimento
leggermente spostate
•  L’effetto doppler del nucleo in
movimento può compensare la
distanza tra le righe.
–  Richiede di trovare un decadimento
in cui Q≈Eγ.
15
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Scattering risonante
16
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Scattering Compton polarizzato
• 
(
Nel sistema di riferimento in cui l’elettrone
è in quiete:

E0 , k = E0 ,0,0, E0
) (
)
e
2
dσ 1 2 " E %
= r $ ' Φ0 + Φ1 + Φ 2
dΩ 2 e $# E0 '&
(
• 
• 
dove re è il raggio classico dell’elettrone:
e2
1
re =
= 2.8 fm
4πε 0 me c 2
• 
• 
(
e l’energia E del fotone uscente è collegata
all’angolo di emissione θ dalla relazione:
E
1
=
E0 1 + ( E0 / me )(1 − cos θ )
Φ0 =
e
Φ1 = − sin 2 θ cos 2φ
Effetto della polarizzazione lineare:
φ angolo azimutale tra direzione di
scattering e polarizzazione del fotone.
)

E, k! =
)
( E, E sin θ cos φ , E sin θ sin φ , E cosθ )
(
 
E0 + me − E, k − k!
)

1− cosθ  
Φ 2 = −ξ
ζ ⋅ k cosθ + k!
me
E E0
+
− sin 2 θ
E0 E
è la sezione d’urto non polarizzata
17
(
)

me , 0
(
• 
)
è il termine che ci interessa:
•  ξ=±1 elicità del fotone
•  ζ=vettore di spin dell’elettrone (ζ2=1)
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Elicità del neutrino: risultati
•  Invertendo il campo
magnetico:
–  Contatori A e C non mostrano
cambiamento di rate
–  Variazione osservata in B:
N− − N+
= 0.017 ± 0.003
1 N +N
+)
2( −
(dopo aver sottratto il fondo non
risonante)
δ=
–  Atteso per elicità 100%:
δ = 0.025
•  <hν>=-(68±14)%
–  Tenuto conto di effetti
depolarizzanti, compatibile
con 100% nel decadimento
18
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Esercizio 1.3
Caratterizzazione esperimento di Goldhaber
1.  Calcolare lo splitting tra l’energia di emissione ed
assorbimento del γ del Sm152.
2.  Confrontarla con la larghezza della transizione
(τ≈3×10-14 s).
3.  Calcolare la differenza relativa tra i coefficienti di
assorbimento del polarimetro per fotoni delle opposte
elicità.
19
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Appendice
IL DECADIMENTO DEL 𝛑
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Il decadimento del π
• 
• 
• 
Il decadimento del pione carico è uno
degli effetti più spettacolari della
struttura “vettoriale” delle interazioni
deboli.
...ed anche il test più accurato
dell’uguaglianza delle costanti di
accoppiamente deboli ad elettrone e
muone.
In analogia con il decadimento del µ,
possiamo scrivere l’elemento di matrice
come il prodotti di due correnti:
M=
4GVud*
2
× uν pν γ µ
( )
• 
21
0 dγ
1
2
µ 1
2
(1− γ ) u π
5

Essendo un decadimento a due corpi la cinematica
è completamente fissata (√s=mπ):
pπ =
+
(1− γ ) v ( p )
5
• 

dove l=e, µ.
–  abbiamo scritto Gl per indicare che il
valore dell’accoppiamento potrebbe
dipendere dal tipo di leptone
(m
π

0
! 2
mπ + m2
#
p =
# 2mπ
"
! 2
mπ − m2
#
pν =
# 2mπ
"
)
 $
p12 n &
&
%
 $
− p12 n &
&
%
mπ2 − m2
p12 =
2mπ
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Il decadimento del π
• 
• 
• 
Il problema è definire l’elemento di matrice
della corrente adronica tra due stati non
elementari.
Possiamo però definirne almeno la forma
generale:
–  γ5 non contribuisce alla reazione tra
stati con spin 0;
–  il termine con γµ deve essere un
vettore, e l’unico vettore a
disposizione è il momento del π.
Di conseguenza deve essere
0 dγ µ
• 
22
1
2
(1 − γ 5 )u π +
=
fπ µ
pπ
2
• 
• 
• 
fπ viene talvolta chiamata “ampiezza di
dissociazione”,
in pratica rappresenta come possiamo
passare da un processo a livello di
mesone al processo fondamentale a
livello di quark in diagrammi simili a
quello presente nel decadimento.
Analogamente esistono fK, fB... che
hanno lo stesso ordine di grandezza.
–  Da un punto di vista pratico, la larghezza
di decadimento del π→µν viene usata per
misurare il valore di fπ, essendo G (e Vud)
ricavabili da altre reazioni.
dove fπ ha le dimensioni di un’energia ed il
fattore di normalizzazione ½ è stato
introdotto per accordarsi alle convenzioni
standard in letteratura.
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
La corrente leptonica
•  L’elemento di matrice lo possiamo scrivere come il prodotto di due tensori:
2
(
)(
)
†
†ρ σ
M = 8G2 Vud2 J had,
J
J
J
σ had,ρ

•  Siccome tornerà utile per il futuro, scrivamo l’espressione di questi
tensori:
def.
L
ρσ

= J † ρ J σ = ∑ uν pν γ ρ
spin
( )
1
1
1− γ 5 v p v  p γ σ 1− γ 5 uν pν
2
2
(
) ( ) ( )
(
) ( )
"
%
ρ 1
σ 1
= Tr $ p/ ν + mν γ
1− γ 5 p/  + m γ
1− γ 5 '
2
2
#
&
"
%
"
%
1
1
1
1
= Tr $ p/ ν + mν γ ρ p/ γ σ 1− γ 5
1− γ 5 ' + Tr $ p/ ν + mν γ ρ mγ σ 1+ γ 5
1− γ 5 '
2
2
2
2
#
&
#
&
(
(
)
(
)
"
1
= Tr $ p/ ν γ ρ p/ γ σ 1− γ 5
2
#
(
(
)(
)
(
(
) (
)
)
(
)
(
) (
)
%
"
%
ρ
σ 1
+
Tr
m
γ
p
γ
1−
γ
'
$ ν /
5 '
2
&
#
&
(
)
(
)
) )
= 2 pνρ pℓσ + pνσ pℓρ − pν pℓ g ρσ − 2iε αρβσ pν ,α pℓ,β
23
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Il decadimento del π
•  Calcolando il quadrato dell’elemento di matrice, otteniamo:
2
2
M = 2G 2 Vud fπ2 pπ , µ pπ ,ν Lµν
ℓ
dove abbiamo il solito tensore leptonico.
•  Nella contrazione con il momento del pione, la parte
antisimmetrica del tensore leptonico si annulla, e rimane:
2
2
M = 4G 2 Vud fπ2 2( pπ ⋅ pℓ )( pπ ⋅ pν ) − mπ2 ( pℓ ⋅ pν )
•  Valutando nel sistema di quiete del π
[
]
2
⋅
p
−
m
p ⋅ pν
π
ν
π
2
" 2
2
2
2
2
2% %
" m2 + m2 m2 − m2 %
"
m + m mπ − m
m − m '

π

'' − mπ2 $ π
''
= 2mπ2 $$ π
+ $$ π
$
2mπ &
2mπ
2mπ
# 2mπ
# 2mπ & '&
#
1
= m2 mπ2 − m2
2
2
2 2 2
2
2
2
M
=
2
G
V
f
m
m
−
m
ud
π
ℓ
π
ℓ
•  si ottiene infine
(
2 pπ ⋅ p
(
)( p
)
(
)
)
(
24
)
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Tensore leptonico: µ-νµ con polarizzazione
•  Per il µ-, anziché mediare sugli spin, utilizziamo l’identità:
( ) ( ) (
)(
u p u p = p/  − m 1+ s/ γ 5
•  Ottenendo:

s = 0, ξ nel sistema di quiete
( )
)
1
1
1− γ 5 u p u p γ σ 1− γ 5 uν pν
2
2
" ρ1
%
σ 1
= Tr $ p/ ν γ
1− γ 5 p/  − m 1+ s/ γ 5 γ
1− γ 5 '
2
2
#
&
"
%
1
= Tr $ p/ γ ρ p/  − m 1+ s/ γ 5 γ σ 1− γ 5 '
2
#
&
spostando a destra la γ5
" ρ
%
1
= Tr $ p/ ν γ p/  − m 1+ s/  γ σ 1− γ 5 '
2
#
&
"
%
1
la traccia di un numero dispari
= Tr $ p/ ν γ ρ p/  − m + p/  s/  − m s/  γ σ 1− γ 5 '
di matrici γ è nulla
2
#
&
σ
ρ
"
%
= 2 $ pνρ p − m s + pνσ p − m s − pν p − m s g ρσ ' − 2iε αρβσ pν ,α p − m s
β
#
&
( )
Lρσ
= uν pν γ ρ

(
(
) ( ) ( )
)(
)(
(
)(
)
(
)(
)
(
(
)
(
(
(
)
(
) ( )
)
)
(
)
)
(
)
) ( (
))
(
)
•  In pratica, è equivalente a fare la sostituzione p → p − m s nell’elemento di
matrice.
25
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Tensore leptonico: µ-νµ con polarizzazione
•  Per il µ+, bisogna tenere conto che vale invece l’identità:
•  Ottenendo:
!
L = 2 # pνρ pℓ + mℓ sℓ
"
ρσ
ℓ
(
( ) ( ) (
)(
v p v p = p/  + m 1+ s/ γ 5
σ
)
+p
σ
ν
( p + m s ) − ( p ( p + m s )) g
ℓ ℓ
ν
ℓ
( )
)
ρ
ℓ

s = 0, ξ nel sistema di quiete
ℓ ℓ
ρσ
$
& − 2iε αρβσ pν ,α pℓ + mℓ sℓ
%
(
)
β
•  In pratica, è equivalente a fare la sostituzione p → p + m s nell’elemento di
matrice.
26
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Il decadimento del π (con polarizzazione)
•  L’elemento di matrice diventa:
2
2
M = 4G 2 Vud fπ2 #$2 ( pπ ⋅ p ) ( pπ ⋅ pν ) − mπ2 ( p ⋅ pν )%&
2
2
M = 2G Vud
2
#2 ( pπ ⋅ p ) ( pπ ⋅ pν ) − mπ2 ( p ⋅ pν )
&
(
f %
2
%$
+ 2m ( pπ ⋅ s ) ( pπ ⋅ pν ) − mπ m ( pν ⋅ s )('
2
π
•  Valutando nel sistema di quiete del π:
#
!
pℓ
nℓ = #
pℓ
"
2
2
m
+
m
π
ℓ
–  dato che il leptone ha momento: pℓ = $$ Eℓ =
2mπ
#
!" m 2 − m 2 ! %
ℓ
pℓ = π
nℓ '
'
2mπ
&



#

   &
⇒ s = % γβ n ⋅ ξ ξ + (γ −1) n ⋅ ξ n (
–  il vettore di spin assume la forma: s = 0, ξ
$
'

2
p
(mπ − m )
, γ −1 =
–  tenuto conto che, per questo decadimento in due corpi: γβ =
m
2mπ m
(
( )
#  
p ⋅ξ
s = % 
% m

$
27
)
(
)
 ( mπ − m )2    &(
ξ+
n ⋅ ξ n
(
2mπ m
'
(
)
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Il decadimento del π (con polarizzazione)
•  Abbiamo già calcolato
1
2 ( pπ ⋅ p ) ( pπ ⋅ pν ) − mπ2 ( p ⋅ pν ) = m2 ( mπ2 − m2 )
2
•  ora valutiamo:
2m ( pπ ⋅ s ) ( pπ ⋅ pν ) − mπ2 m ( pν ⋅ s )

2
  %"
2
2%
2
2 " 
"
p ⋅ ξ
mπ − m
mπ − m $ p ⋅ ξ   ( mπ − m )   %'
2
= 2m $ mπ
+ n ⋅ ξ +
n ⋅ ξ '
'$ mπ
' − mπ m
$
m &#
2mπ &
2mπ # m
2mπ m
#
&
#   mπ2 + m2   &
 
1
2
2
2
2
= mπ p ⋅ ξ ( mπ − m ) − mπ ( mπ − m )% p ⋅ ξ +
n ⋅ ξ (
2
2mπ
$
'
# mπ2 − m2 1 mπ2 − m2 1 mπ2 + m2 &
 
1   2 2
2
2
2
= n ⋅ ξ ( mπ − m )%
−
−
( = − n ⋅ ξ m ( mπ − m )
2
2
2
2 '
2
$ 2
(
(
(
)
(
)
(
)
)
)
(
)
•  ed il risultato è:
2
2
M = 2G Vud f m ( m − m
28
2
2
π
2

2
π
2

 
1− n ⋅ ξ
)(
)
Il µ+ ha preferenzialmente lo spin
opposto alla direzione di moto
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Spazio delle fasi di due particelle
• 
• 
Anche se questo conto è già stato fatto in
altri corsi, lo ripetiamo scritto negli
appunti, come riferimento.
Sia un sistema con 4-momento P che si
trasforma in due particelle con 4momento p1 e p2:
4
dΦ = (2π ) δ
• 
( 4)
( s 0)
⎞
p12 n ⎟⎟
⎠
• 
⎛ s + m22 − m12
p2 = ⎜⎜
2 s
⎝
⎞
− p12 n ⎟⎟
⎠
2
2
(2π )
δ
(
d 3 p1
s − E1 − E2
4 E1 E2
)
Esplicitando nell’integrale il modulo
del momento ed integrando sullo
stesso usando l’ultima delta,
otteniamo:
dΦ =
1
( 2π )
1
( 2π )
2
δ
(
2
1
2
1
2
2
s − p +m − p +m
1
2
2
1
p12 p12
+
E1
E2
)
p12 dp1dΩ
4E1E2
2
p12 dΩ
4E1E2
2
(s − (m + m ) )(s − (m − m ) )
1
1
p12 dΩ
1
E1E2
=
16π 2 p12 ( E1 + E2 ) 4E1E2
2
29
dΦ =
=
⎛ s + m12 − m22
p1 = ⎜⎜
2 s
⎝
p12 =
L’integrale sulla parte tridimensionale
della delta dà:
d 3 p1
d 3 p2
(P − p1 − p2 ) 3
(2π ) 2 E1 (2π )3 2 E2
Essendo questo fattore invariante,
possiamo calcolarlo nel sistema di
riferimento del centro di massa, dove
P=
• 
2
1
2
=
1 p12
dΩ
16π 2 s
2 s
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Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 2013/14
Larghezza di decadimento
•  Infine, la larghezza di decadimento è data da:
(
)
dΓ π + → +ν  =
2
1
M dΦ
2mπ
 
1− n ⋅ ξ
1 p12
2G Vud f m m − m
dΩ
2
16π
s
 
•  nell’integrale sull’angolo solido, il prodotto scalare n ⋅ ξ si cancella.
1
=
2mπ
2
p12
–  tenuto conto che
(
+
)
2

(
2
π
2

2
G Vud f
8π
2
π
)(
)
mπ2 − m2
=
2
(
2
=
2
π
2mπ
s
2
2G 2 Vud f π2 m2 mπ2 − m2
1
Γ π →  ν =
2mπ
+
2
2

m
(m
2
π
2

−m
)
2
)
2
2
1 mπ − m
4π 2mπ2
mπ3
2
2
2 3
G
V
f
mπ m2 ! m2 $
ud
π
+
+

#1− 2 &&
•  ed il risultato è: Γ π →  ν  =
2 #
8π
mπ " mπ %
(
30
2
)
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