Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica A.A. 2013/2014, Sessione Autunnale Esami di Fisica Generale I con Lab. e Fisica Generale II con Lab. 5 Settembre 2014, Prova Scritta TESTI E SOLUZIONI DEI PROBLEMI PROBLEMA 1 (Fis. Gen. I Lab.) Presi due sistemi di riferimento in moto relativo uniforme l’uno rispetto all’altro con velocità prossima a quella della luce, dimostrare che, se un punto materiale ha accelerazione nulla rispetto al primo sistema, esso avrà accelerazione nulla rispetto al secondo. Soluzione Abbiamo visto che le formula di trasformazione delle velocità sono: v 'y v x' + βc vx = ;vy = βv x' βv x' 1+ γ (1 + ) c c Da queste ricaviamo: dv x dt ' d v x' + βc dv x' 1 1− β 2 1 ' . = ( ) = dv = x ' β β ' 2 β ' 3 dt dt dt ' dt ' 3 βv x γ (dt '+ dx ' ) (1 + v x ) γ (1 + v x ) 1+ c c c c Come si vede le due accelerazioni sono proporzionali e dunque: nulla l’una è nulla l’altra. Per l’asse Y, sarà similmente: dv 'y dv 'y d 1 1 . vy = = ' dt dt dt ' βv x βv x' 2 γ (1 + ) γ (1 + ) c c PROBLEMA 2 (Fis. Gen. I Lab. e Fis. Gen. II) Una soluzione diluita di macromolecole di peso molecolare 10 4 è contenuta in un recipiente cilindrico alto h = 1m alla temperatura di 27°C . Supponendo che le macromolecole si comportino come un gas perfetto, calcolare il rapporto tra le concentrazioni alla base e alla sommità del recipiente ( k = 1.67 ⋅ 10 −23 J / K . Soluzione Il rapporto tra le concentrazioni e dato dal fattore di Boltzmann: e − mgh kT = 1,04 PROBLEMA 3 (Fis. Gen. I Lab.) ! Un fascio di particelle di carica q e massa m si trova in un campo magnetico uniforme B ; le ! velocità delle particelle sono ortogonali a B . Dimostrare che il sistema di cariche ha un momento di ! dipolo magnetico pari a − Ec B / B 2 , dove E c è l’energia cinetica del sistema. Soluzione La particella k-esima di velocità v k , descrive una circonferenza di raggio rk = mvk /(qB) nel tempo T= 2πrk 2πm ; ogni particella in moto equivale ad una spira percorsa da una corrente d’intensità = vk qB i = q / T e di momento magnetico µ k = πirk2 = 12 mvk2 / B . Tutti i momenti magnetici sono ! antiparalleli a B , quindi ! ! " µ = ∑ µ k = −(∑ 12 mvk2 ) B / B 2 = − Ec B / B 2 . k k PROBLEMA 4 (Fis. Gen. II e Fis. Gen. II Lab.) Un’onda elettromagnetica piana polarizzata linearmente, di frequenza ν = 250kHz , si propaga ina aria e si riflette su una superficie piana perfettamente conduttrice, disposta perpendicolarmente alla sua direzione di propagazione. 1. A quali distanze dalla superficie si formano il primo nodo e il primo ventre dell’onda elettrica e di quella magnetica, rispettivamente? 2. Quanto vale il vettore di Poynting a distanza d dalla superficie? Soluzione L’onda stazionaria ha un vettore elettrico dato da ! ! E ( x, t ) = E0 sin kx cos ωtj . Dalla relazione si ricava che ! ! ! ∂B ∇× E = − , ∂t ! ∂B = kE 0 cos kx cos ωt ∂t e infine che ! k B = E0 cos kx sin ωt . ω Ne segue che il campo elettrico ha un nodo a x = 0 e un ventre a x = magnetico ha un ventre a x = 0 e un nodo a x = λ 4 λ 4 = 300m , mentre il campo = 300m . Il vettore di Poynting è: ! ! " E×B ! ! E2 E2 S= = − 0 sin kx cos kx sin ωt cos ωti = − 0 sin 2kx sin 2ωti , µ0 µ0c 4µ 0 c il cui modulo per x = d è S= E02 sin 2kd sin 2ωt . µ0c PROBLEMA 5 (Fis. Gen. II e Fis. Gen. II Lab.) Consideriamo il dispositivo in figura (interferometro stellare di Michelson). Una sorgente puntiforme monocromatica si trova sull’asse del sistema a grande distanza dal sistema e dà luogo ad un sistema di frange d’interferenza passando attraverso due fenditure a distanza h l’una dall’altra sul piano focale della lente situato a distanza f dalle fenditure. Determinare la posizione dei massimi (coordinata y ) sullo schermo. Y y h P0 f Soluzione Il cammino ottico dei due raggi è identico fino alle fenditure. Dopo le due fenditure, in posizione y a partire dal punto di simmetria, i due cammini sono (come si evince dalla figura): h h h2 h h2 e x12 = f 2 + ( + y) 2 = f 2 + y 2 + 2 y + x22 = f 2 + y 2 − 2 y + , 2 2 4 2 4 da cui 2hy 2hy hy . x12 − x 22 = ( x1 − x 2 )( x1 + x 2 ) = 2hy ⇒ Δx = ≅ = x1 + x 2 2 f f Poiché i massimi si ottengono per Δx = nλ , ne segue che: hy f Δx = nλ = ⇒ y = nλ . f h PROBLEMA 6 (Fis. Gen. II Lab.) Dimostrare che per una particella quantistica unidimensionale, per ogni valore dell’energia, esiste una sola funzione d’onda indipendente. Soluzione Supponiamo, per assurdo, che ne esistano due, avremo: d2 2m d2 2m e ψ = ( V ( x ) − E ) ψ ψ 2 = 2 (V ( x) − E )ψ 2 . 1 1 2 2 2 dx ! dx ! Moltiplicando la prima per ψ 2 , la seconda per ψ 1 e sottraendo, si ottiene: ovvero: cioè: d2 d2 ψ 2 2 ψ 1 −ψ 1 2 ψ 2 = 0 , dx dx d d d (ψ 2 ψ 1 − ψ 1 ψ 2 ) = 0 dx dx dx ψ2 d d ψ 1 − ψ 1 ψ 2 = costante. dx dx Poiché entrambe le funzioni d’onda devono annullarsi all’infinito il valore della costante deve essere zero. Ne segue che: 1 d 1 d d d ψ1 = ψ 2 ⇒ lnψ 1 = lnψ 2 . ψ 1 dx ψ 2 dx dx dx Integrando si ha ψ 1 = Cψ 2 , cioè le due soluzioni non sono indipendenti.