‫ﻣﻮﻋﺪ ﺗﺤﻮﻳﻞ‪ :‬ﭼﻬﺎرﺷﻨﺒﻪ ‪ 10‬ﺧﺮداد ‪1391‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺳﺮي ﺷﺸﻢ ﺳﺎﺧﺘﻤﺎنﻫﺎي ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫از ﺳﻮاﻻت ‪ 1‬اﻟﻲ ‪ ،15‬ﺑﻪ ‪ 5‬ﺳﻮال‪ ،‬از ﺳﻮاﻻت ‪ 16‬اﻟﻲ ‪ 22‬ﺑﻪ ‪ 2‬ﺳﻮال‪ ،‬از ﺳﻮاﻻت ‪ 23‬اﻟﻲ ‪ 28‬ﺑﻪ ‪ 2‬ﺳﻮال‪ ،‬از ﺳﻮاﻻت‬
‫‪ 29‬اﻟﻲ ‪ 33‬ﺑﻪ ‪ 2‬ﺳﻮال و از ﺳﻮاﻻت ‪ 34‬اﻟﻲ ‪ 36‬ﻧﻴﺰ ﺑﻪ ‪ 1‬ﺳﻮال ﺑﻪ دﻟﺨﻮاه ﺧﻮد ﭘﺎﺳﺦ دﻫﻴﺪ‪) .‬ﺟﻤﻌﺎً ‪ 12‬ﺳﻮال(‬
‫ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ اوﻟﻴﻪ‪ ،‬ﮔﺮافﻫﺎي ﻣﻨﺘﻈﻢ‪ ،‬ﻫﻤﺒﻨﺪ‪ ،‬دوﺑﺨﺸﻲ‪ ،‬ﻳﻜﺮﻳﺨﺘﻲ‪ ،‬ﻓﺎﺻﻠﻪ در ﮔﺮاف‪ ،‬ﻗﻄﺮ ﮔﺮاف‬
‫‪ -1‬ﮔﺮاﻓﻲ دﻗﻴﻘﺎً دو راس درﺟﻪ ﻓﺮد دارد ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻣﺴﻴﺮي وﺟﻮد دارد ﻛﻪ از اﻳﻦ دو راس ﻣﻴﮕﺬرد‪.‬‬
‫‪ -2‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻫﺮ ﮔﺮاف ﺳﺎده ﺣﺪاﻗﻞ دو راس ﻏﻴﺮ ﺑﺮﺷﻲ دارد‪.‬‬
‫‪ -3‬ﻳﻚ ﮔﺮاف ﺳﺎده دارﻳﻢ ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻣﻴﺘﻮان ﻃﻮري روي ﻳﺎل ﻫﺎي آن ﻳﺎ ‪ 1‬ﻳﺎ ‪ -1‬ﮔﺬاﺷﺖ ﻛﻪ ﺑﺮاي ﻫﺮ راس ﺟﻤﻊ اﻋﺪاد روي‬
‫ﻳﺎل ﻫﺎي آن ﻳﺎ ‪ 1‬ﻳﺎ ‪ 0‬ﻳﺎ ‪ -1‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪ -4‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ در ﻫﺮ ﮔﺮاف دﻟﺨﻮاه‬
‫ﻳﺎ ‪3‬‬
‫‪ -5‬اﻧﺪازه ﻛﻤﺮ و ﻗﻄﺮ ‪-‬ﻣﻜﻌﺐ )‬
‫ﻳﺎ ‪3‬‬
‫( را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‪2) .‬‬
‫‪.‬‬
‫(‬
‫‪ -6‬ﺗﻤﺎم ﻳﺎل ﻫﺎي ﻳﻚ ﮔﺮاف ﻛﺎﻣﻞ را ﺑﻪ دﻟﺨﻮاه ﺟﻬﺖدﻫﻲ ﻛﺮدهاﻳﻢ ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ رأﺳﻲ وﺟﻮد دارد ﻛﻪ ﺑﺘﻮان ﺑﺎ ﺣﺪاﻛﺜﺮ دو ﻳﺎل از‬
‫آن راس ﺑﻪ ﻫﺮ راس دﻳﮕﺮي رﺳﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ -7‬ﮔﺮاف‬
‫‪, , ,‬‬
‫را ﻗﻮﻳﺎً ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﻲﮔﻮﻳﻴﻢ و ﺑﺎ‬
‫دو رأس ﻣﺠﺎور‬
‫دﻗﻴﻘﺎً ﻫﻤﺴﺎﻳﻪ ﻣﺸﺘﺮك و ﻫﺮ دو رأس ﻏﻴﺮﻣﺠﺎور‬
‫ﻣﺜﺎل ﮔﺮاف ﭘﺘﺮﺳﻦ ‪10,3,0,1‬‬
‫‪2,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪1,‬‬
‫‪ -8‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ‬
‫ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪ ،‬ﻫﺮﮔﺎه‬
‫دﻗﻴﻘﺎً ﻫﻤﺴﺎﻳﻪ ﻣﺸﺘﺮك داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان‬
‫و دور ‪ 5‬رأﺳﻲ ) ‪5,2,0,1 ( 5‬‬
‫ﻣﻲﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﮔﺮاف ﻛﺎﻣﻞ )‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪- 3‬ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺑﺎ ‪ 12‬رأس ﺑﺎﺷﺪ و ﻫﺮ دو رأس دﻗﻴﻘﺎً ‪ 6‬ﻫﻤﺴﺎﻳﻪ ﻣﺸﺘﺮك دارﻧﺪ‪،‬‬
‫‪ -9‬ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﺗﻌﺪاد ﻣﺴﻴﺮﻫﺎي ﺑﻪ ﻃﻮل ‪ 2‬در ﮔﺮاف ﺳﺎده‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬
‫‪2‬‬
‫‪ -10‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺳﻮال ﻗﺒﻞ و ﺑﺎ ﻛﻤﻚ ﻧﺎﺑﺮاﺑﺮي ﺣﺴﺎﺑﻲ‪-‬ﻣﺮﺑﻌﻲ )‬
‫ﻣﺴﻴﺮﻫﺎي ﺑﻪ ﻃﻮل ‪ 2‬در ﮔﺮاف ﺳﺎده‬
‫‪) -11‬ﻗﻀﻴﻪ ﺗﻮران( اﮔﺮ ﮔﺮاف ﺳﺎده‬
‫( ﻳﻚ‬
‫‪ -12‬ﺑﺮاي ﻫﺮ ‪ ،‬ﮔﺮاﻓﻲ ﺳﺎده ﺑﺎ‬
‫‪ -13‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ اﮔﺮ در ﮔﺮاف ﺳﺎده‬
‫‪1‬‬
‫‪ -14‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ اﮔﺮ در ﮔﺮاف ﺳﺎده‬
‫ﺑﺎ‬
‫رأس و‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‪.‬‬
‫∑‪.‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ﻳﺎل ﺣﺪاﻗﻞ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ‪1‬‬
‫ﻣﺜﻠﺚ )دور ﺑﻪ ﻃﻮل ‪ (3‬ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آﻧﮕﺎه‬
‫رأس و‬
‫ﻫﻤﺒﻨﺪ ﺑﻤﺎﻧﺪ‪.‬‬
‫ﮔﺮاﻓﻲ‬
‫اﺳﺖ ﻛﻪ در آن ﻫﺮ ﻋﺪدي ﻣﻲﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻫﻤﻮاره دارﻳﻢ‪:‬‬
‫ﮔﺮاﻓﻲ ‪6‬‬
‫‪ -15‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﮔﺮاﻓﻲ ‪1‬‬
‫رأﺳﻲ و ‪-‬ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺑﻮده و ﻫﺮ‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫( ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﺗﻌﺪاد‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫ﻳﺎل ﺑﺴﺎزﻳﺪ ﻛﻪ ﻣﺜﻠﺚ ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪ ،δ‬آنﮔﺎه ﮔﺮاف ﻫﻤﺒﻨﺪ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ،‬آنﮔﺎه ﮔﺮاف ﻫﻤﺒﻨﺪ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ 2‬رأﺳﻲ دارﻳﻢ ﻛﻪ ﻗﻮﻳﺎً ﻫﻤﺒﻨﺪ اﺳﺖ ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻳﺎﻟﻲ در آن وﺟﻮد دارد ﻛﻪ ﺑﺎ ﺣﺬف آن ﮔﺮاف ﻗﻮﻳﺎً‬
‫درﺧﺖﻫﺎ‬
‫‪ -16‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻫﺮ ﮔﺮاف ﻫﻤﺒﻨﺪ ﺣﺪاﻗﻞ ﻳﻚ زﻳﺮدرﺧﺖ ﻓﺮاﮔﻴﺮ دارد‪.‬‬
‫ﻳﻚ درﺧﺖ و‬
‫‪ -17‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ‬
‫ﻳﻚ رأس ﺑﺮﺷﻲ اﺳﺖ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ‬
‫رأﺳﻲ از آن ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬در اﻳﻦ ﺻﻮرت‬
‫‪ deg‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ -18‬در ﻳﻚ درﺧﺖ ﻣﺮﻛﺰ رأﺳﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻴﺸﺘﺮﻳﻦ ﻓﺎﺻﻠﻪي آن ﺗﺎ ﺑﺎﻗﻲ رأسﻫﺎ ﻣﻴﻨﻴﻤﻢ ﺑﺎﺷﺪ ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ در ﻫﺮ درﺧﺖ ﻳﺎ ﻳﻚ‬
‫ﻣﺮﻛﺰ دارﻳﻢ ﻳﺎ دو ﻣﺮﻛﺰ ﻣﺠﺎور‪.‬‬
‫‪ -19‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ‬
‫ﮔﺮاﻓﻲ ﻫﻤﺒﻨﺪ ﺑﺎ ﺑﻴﺶ از ﻳﻚ رأس ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ‬
‫درﺧﺘﻲ ﺑﺎ ﻣﺎﻛﺰﻳﻤﻢ درﺟﻪ ‪ Δ‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ‬
‫‪ -20‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ‬
‫‪ -21‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ‬
‫رﻳﺨﺖ ﺑﺎ‬
‫راﺳﻲ ﺑﺎﺷﺪ و‬
‫ﻳﻚ درﺧﺖ‬
‫ﺣﺪاﻗﻞ دو رأس دارد ﻛﻪ ﺑﺮﺷﻲ ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫ﺣﺪاﻗﻞ ‪ Δ‬ﺑﺮگ دارد‪.‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ‬
‫ﻳﻚ ﮔﺮاف ﺑﺎ ﻣﻴﻨﻴﻤﻢ درﺟﻪي ‪1‬‬
‫ﻳﻚ زﻳﺮﮔﺮاف ﻳﻚ‬
‫دارد‪.‬‬
‫ﮔﺮاﻓﻲ ﻫﻤﺒﻨﺪ ﺑﺎ ﺣﺪاﻗﻞ ﺳﻪ رأس ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﮔﺮ‬
‫‪ -22‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ‬
‫ﻳﺎل ﺑﺮﺷﻲ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ رأس ﺑﺮﺷﻲ ﻧﻴﺰ دارد‪.‬‬
‫ﮔﺮافﻫﺎي اوﻳﻠﺮي و ﻫﻤﻴﻠﺘﻮﻧﻲ‬
‫‪ -23‬آﻳﺎ ﮔﺮاﻓﻲ اوﻳﻠﺮي وﺟﻮد دارد ﻛﻪ ﺗﻌﺪاد رأسﻫﺎي آن زوج و ﺗﻌﺪاد ﻳﺎلﻫﺎي آن ﻓﺮد ﺑﺎﺷﺪ؟‬
‫‪ -24‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ درﺟﻪ ﻫﻤﻪ رأسﻫﺎي ﮔﺮاف‬
‫ﻳﺎلﻫﺎي‬
‫‪1‬‬
‫و‬
‫‪2‬‬
‫دو زﻳﺮ درﺧﺖ ﻓﺮاﮔﻴﺮ از ﮔﺮاف‬
‫اي وﺟﻮد دارد ﻛﻪ ﻋﻀﻮ‬
‫ﻓﺮاﮔﻴﺮ‬
‫زوج ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ دورﻫﺎي ﻣﺠﺰاي ﻳﺎﻟﻲ‬
‫را اﻓﺮاز ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ -25‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ‬
‫‪2‬‬
‫‪1, 2, … ,‬‬
‫وﺟﻮد دارﻧﺪ ﻛﻪ‬
‫‪2‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ وﻟﻲ ﻋﻀﻮ‬
‫‪1‬‬
‫ﺑﺎﺷﻨﺪ و‬
‫‪1‬‬
‫ﻳﺎﻟﻲ ﺑﺎﺷﺪ از‬
‫ﻧﺒﺎﺷﺪ ﺑﻪ ﺷﺮﻃﻲ ﻛﻪ‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ﻛﻪ در‬
‫‪1– 1‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫وﺟﻮد ﻧﺪارد ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻳﺎل‬
‫‪2– 2‬‬
‫ﻫﺮ دو زﻳﺮ درﺧﺖ‬
‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ -26‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ‬
‫‪,‬‬
‫‪،‬‬
‫! ! ‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ -27‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ‪-‬ﻣﻜﻌﺐ )‬
‫دور ﻫﻤﻴﻠﺘﻮﻧﻲ دارد‪.‬‬
‫( ﻫﻤﻴﻠﺘﻮﻧﻲ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪) -28‬ﻗﻀﻴﻪ اور( ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ در ﮔﺮاف‬
‫رأﺳﻲ اﮔﺮ ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ دو رأس‬
‫و‬
‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‬
‫در اﻳﻦ ﮔﺮاف‬
‫دور ﻫﻤﻴﻠﺘﻮﻧﻲ ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ‪) .‬ﻧﺘﻴﺠﻪ‪ :‬ﻗﻀﻴﻪ دﻳﺮاك( راﻫﻨﻤﺎﻳﻲ‪ :‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺣﻜﻢ درﺳﺖ ﻧﺒﺎﺷﺪ‪ ،‬از ﻣﻴﺎن ﺗﻤﺎم ﮔﺮافﻫﺎي‬
‫را ﮔﺮاﻓﻲ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ ﻛﻪ ﺑﻴﺸﺘﺮﻳﻦ ﺗﻌﺪاد ﻳﺎل را دارد و ﺑﺎ آن‬
‫رأﺳﻲ ﻛﻪ در ﻓﺮض ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺻﺪق ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ و ﻫﻤﻴﻠﺘﻮﻧﻲ ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ‪،‬‬
‫ﻛﺎر ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫ﮔﺮافﻫﺎي ﻣﺴﻄﺢ‬
‫‪) -29‬ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻓﺮﻣﻮل اوﻳﻠﺮ( اﮔﺮ‬
‫ﮔﺮاﻓﻲ ﻣﺴﻄﺢ ﺑﺎ‬
‫ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻫﻤﺒﻨﺪي ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آنﮔﺎه‬
‫‪ -30‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ اﮔﺮ‬
‫‪1‬‬
‫ﮔﺮاﻓﻲ ﻣﺴﻄﺢ ﺑﺎﺷﺪ آنﮔﺎه ‪2‬‬
‫‪ -31‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ اﮔﺮ‬
‫ﮔﺮاﻓﻲ ﺳﺎده و ﻣﺴﻄﺢ و ﻃﻮل ﻛﻮﺗﺎﻫﺘﺮﻳﻦ دور در‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آنﮔﺎه‬
‫ﺳﭙﺲ ﻧﺘﺎﻳﺞ زﻳﺮ را اﺛﺒﺎت ﻛﻨﻴﺪ‪:‬‬
‫‪ .a‬اﮔﺮ‬
‫ﮔﺮاﻓﻲ ﺳﺎده و ﻣﺴﻄﺢ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آنﮔﺎه ‪6‬‬
‫‪ .b‬اﮔﺮ‬
‫ﮔﺮاﻓﻲ ﺳﺎده و ﻣﺴﻄﺢ و دوﺑﺨﺸﻲ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آنﮔﺎه ‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ -32‬ﻫﺮﮔﺎه‬
‫ﮔﺮاﻓﻲ ﻣﺴﻄﺢ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ‪5‬‬
‫‪ -33‬ﻫﺮﮔﺎه‬
‫ﮔﺮاﻓﻲ ﻣﺴﻄﺢ ﺑﺎ ﺣﺪاﻗﻞ ‪ 11‬رأس ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻣﺴﻄﺢ ﻧﻴﺴﺖ‪.‬‬
‫رﻧﮓآﻣﻴﺰي‬
‫‪ -34‬ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ‪:‬‬
‫‪ -35‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ اﮔﺮ ﮔﺮاف‬
‫‪ -36‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ‪1‬‬
‫داراي زﻳﺮﮔﺮاف‬
‫‪Δ, Δ‬‬
‫زوج‬
‫‪2‬‬
‫ﻓﺮد‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آنﮔﺎه‬
‫‪.‬‬
‫ﺗﻌﺎرﻳﻒ‪:‬‬
‫•‬
‫= ﻛﻤﺘﺮﻳﻦ درﺟﻪ‬
‫•‬
‫‪ = Δ‬ﺑﻴﺸﺘﺮﻳﻦ درﺟﻪ‬
‫•‬
‫•‬
‫‪,‬‬
‫= ﻛﻮﺗﺎﻫﺘﺮﻳﻦ ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻣﻴﺎن دو رأس‬
‫و‬
‫= ﻗﻄﺮ ﮔﺮاف )ﺑﻴﺸﺘﺮﻳﻦ ﻣﻘﺪار از ﻣﻴﺎن ﺗﻤﺎم‬
‫•‬
‫ﻛﻤﺮ = ﻛﻮﺗﺎﻫﺘﺮﻳﻦ دور‬
‫•‬
‫= ﻋﺪد رﻧﮕﻲ رأﺳﻲ‬
‫•‬
‫= ﻋﺪد رﻧﮕﻲ ﻳﺎﻟﻲ‬
‫‪,‬‬
‫ﻫﺎ(‬
‫‪.‬‬